Исследование плоского напряженного состояния кратко

Исследование плоского напряженного состояния кратко

Как было указано выше, если одно из главных напряжений равно нулю, то объемное напряженное состояние исключается. Однако, чтобы точно сказать, плоское или одноосное напряженное состояние имеет место в данной точке, необходимо определить два других главных напряжения.

Вырежем параллелепипед с бесконечно малыми размерами сторон dx,dy,dzтак, чтобы на одной из трех взаимно перпендикулярных площадок отсутствовали напряжения. Это будет означать, что одно главное напряжение равно нулю. В этом случае, как указывалось ранее, не будет объемного напряженного состояния. Такие элементы можно вырезать из стенки изгибаемых балок, стеновых панелей и т.п., когда одна из граней совпадает со свободной от напряжений поверхностью.

Пусть на двух оставшихся взаимно перпендикулярных площадках будут известны нормальные и касательные напряжения: σx, σy, τyx, τxy(рис. 4.3а).

Определим нормальные и касательные напряжения на произвольных площадках, повернутых к заданным на угол α и перпендикулярных к грани, свободной от напряжений.

Ранее было принято следующее правило знаков для нормальных напряжений: растягивающие будем считать положительными, а сжимающие – отрицательными.

Исследование плоского напряженного состояния

Касательные напряжения будем считать положительными, если они стремятся сдвинуть выделенный элемент по ходу часовой стрелки, и отрицательными – если против хода часовой стрелки.

Проведем наклонное сечение под углом α к вертикальной грани против хода часовой стрелки, отбросим одну часть, приложим к наклонному сечению напряжения Исследование плоского напряженного состоянияиИсследование плоского напряженного состоянияи рассмотрим равновесие оставшейся части с размерами сторонdx,dy,ds(рис. 4.3б).

В связи с тем, что все размеры выделенной призмы бесконечно малы, касательные и нормальные напряжения по ее боковым и наклонным граням можно считать распределенными равномерно. Поэтому силы, действующие по граням призмы равны произведению площади грани на соответствующее напряжение. Приложим эти силы в центре тяжести соответствующих граней (рис. 4.3в).

Составим следующие уравнения равновесия для выделенной призмы:

Исследование плоского напряженного состояния

Следовательно, касательные напряжения по двум взаимно перпендикулярным площадкам, действующие по нормали к ребру, равны по абсолютной величине и направлены в противоположные стороны. Эта зависимость между τyx и τxy называется законом парности касательных напряжений.

2. Исследование плоского напряженного состояния

(рис. 4.3в);

Исследование плоского напряженного состояния

Решим это уравнение относительно σα. Учитывая, чтоИсследование плоского напряженного состояния,Исследование плоского напряженного состояния, после элементарных преобразований, с учетом (4.1) получим:

Исследование плоского напряженного состояния. (4.2)

3.Исследование плоского напряженного состояния

Расписав это уравнение равновесия и используя преобразования, приведенные для второго уравнения равновесия, получим:

Исследование плоского напряженного состояния. (4.3)

Формулы (4.2) и (4.3) позволяют определять нормальные и касательные напряжения по любым площадкам, проходящим через заданную точку, если известны нормальные и касательные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках.

Если необходимо определить нормальное напряжение на площадке, перпендикулярной наклонной, то в формулу (4.2) вместо α подставим α+90˚. После указанной подстановки получим

Исследование плоского напряженного состояния. (4.4)

Найдем сумму нормальных напряжений на двух взаимно перпендикулярных площадках σαи σα+90, т.е. сложим напряжения по формулам (4.2) и (4.4) и получим:

Исследование плоского напряженного состояния, (4.5)

Таким образом, сумма нормальных напряжений на двух взаимно перпендикулярных площадках есть величина постоянная и от положения этих площадок не зависит. Следовательно, если по одной из таких площадок нормальные напряжения имеют максимальное значение, то по другой они имеют минимальное значение.

При расчете инженерных конструкций нет необходимости определять нормальные напряжения по всем площадкам, проходящим через заданную точку. Достаточно знать максимальные и минимальные их значения, которые, как отмечалось ранее, называютсяглавными напряжениями.

Для определения величин главных напряжений и положения главных площадок функцию для σα(4.2) исследуем на экстремум, т.е. приравняем нулю первую производную от напряжения σαпо α при некотором значении угла α = α0:

Исследование плоского напряженного состояния

При Исследование плоского напряженного состояния, используя известные тригонометрические зависимости, получим:

Исследование плоского напряженного состояния. (4.5)′

Здесь α0– угол наклона главной площадки к площадке, в которой действуют заданные напряжения σх(рис. 4.3б).

Сравнивая выражение (4.5)′ с формулой (4.3), устанавливаем, что Исследование плоского напряженного состояния.

Отсюда следует, что на главных площадках касательные напряжения равны нулю, т.е.:

Исследование плоского напряженного состояния (4.6)

Из соотношения (4.6) получим:

Исследование плоского напряженного состояния, (4.7)

или, используя (4.1):

Исследование плоского напряженного состояния. (4.8)

Формулы (4.7) и (4.8) дают значения углов α0, определяющие две взаимно перпендикулярные площадки, на которых действуют главные напряжения.

Следовательно, для определения положения главных площадок, необходимо площадки, на которых действуют заданные напряжения σxиσy, повернуть на угол α0против хода часовой стрелки (при α0 > 0) или по ходу часовой стрелки (при α0 < 0).

Следует иметь в виду, что наибольшее главное напряжение должно проходить в тех четвертях, где сходятся касательные напряжения Исследование плоского напряженного состоянияи оно всегда находится ближе к тому из заданных нормальных напряжений, значения которого с алгебраической точки зрения больше.

Главные напряжения можно определить, подставляя значения угла α0в формулу (4.2).

Эти же напряжения можно определять и без предварительного определения угла α0, если (4.7) или (4.8) подставить в формулу (4.2). В результате элементарных преобразований получаем следующую формулу для определения величин главных напряжений:

Исследование плоского напряженного состояния. (4.9)

Определим также площадки, по которым касательные напряжения имеют экстремальные (максимальные и минимальные) значения. Такие площадки, как упоминалось в п. 3.4, называются площадками сдвига.

Для этого приравняем нулю первую производную функции (4.3) при некотором значении угла α1:

Исследование плоского напряженного состояния.

Отсюда: Исследование плоского напряженного состояния. (4.10)

Здесь α1– угол наклона площадки сдвига к заданной площадке, по которой действует напряжение σх. Если угол α1положителен, то эту площадку надо повернуть против хода часовой стрелки, а если отрицателен – то по ходу часовой стрелки.

Формула (4.10) дает значение угла α1, определяющее положение одной из двух взаимно перпендикулярных площадок. Положение другой площадки определяется поворотом на угол α+900. По одной из двух площадок действует максимальное касательное напряжение τmax, а по другой – минимальное τmin. Из закона парности касательных напряжений следует, что

Исследование плоского напряженного состояния.

Если определены главные площадки, легко определить величины напряжений Исследование плоского напряженного состоянияи положение площадок, на которых они действуют.

Если в формуле (4.3) для определения касательных напряжений ταна произвольной площадке за исходные примем главные напряжения σИсследование плоского напряженного состоянияиσИсследование плоского напряженного состояниявместо σx и σy, а τуx= 0, то получим:

Исследование плоского напряженного состояния. (4.11)

Отсюда следует, что Исследование плоского напряженного состояния, (4.12)

так как sin(2Исследование плоского напряженного состояния) = ±1 приИсследование плоского напряженного состояния, т.е.площадки сдвига наклонены к главным площадкам под углом ±45˚.

Если в формулу (4.12) подставим выражения σИсследование плоского напряженного состоянияиσИсследование плоского напряженного состоянияиз соотношения (4.9), найдем:

Исследование плоского напряженного состояния. (4.13)

Определим нормальные напряжения на площадках сдвига. Для их определения формулу (4.2) перепишем, подставляя вместо напряжений на произвольных площадках σx и σy главные напряженияИсследование плоского напряженного состояния

Исследование плоского напряженного состояния. (4.14)

При α = ±45˚ получим формулу для определения нормальных напряжений на площадках сдвига:

Исследование плоского напряженного состояния. (4.15)

Таким образом, из (4.14) следует, что нормальные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках сдвига равны между собой по величине и знаку.

Если нормальные напряжения на площадках сдвига равны нулю, то такие площадки называются площадками чистого сдвига.

Примерами чистого сдвига являются кручение и срез.

avatar

Что бы оставить комментарий войдите


Комментарии (0)






Сопротивление материалов