10. Теория ошибок измерений в геодезии

10.1. Общие понятия об измерениях

Сравнение какой-либо величины с другой однородной величиной, принятой за единицу, называют измерением, а полученное при этом числовое значение –результатом измерения.

Различают измерения прямые (непосредственные) и косвенные. Основное уравнение прямого измерения

λ = N ∙ K

где λ – результат измерения; К – значение величины, принятой за единицу измерения (сравнение); N – отвлеченное число, показывающее во сколько раз λбольше N.

Косвенные измерения – такие измерения, которые получают по формулам, связывающим значения измеренных физических величин со значениями других физических величин, полученных из прямых измерений и являющихся аргументами этих формул.

Уравнение косвенного измерения

λ= f (λ1,λ2,λ3,...,λn).

10.2. Ошибки измерений

Процесс измерений протекает во времени и определенных условиях, в нём участвуют объект измерения, измерительный прибор, наблюдатель и среда, в которой выполняют измерения. В связи с этим на результаты измерений влияют качество измерительных приборов, квалификация наблюдателя, состояние измеряемого объекта и изменения среды во времени. При многократном измерении одной и той же величины из-за влияния перечисленных факторов результаты измерений могут отличаться друг от друга и не совпадать со значением измеряемой величины. Разность между результатом измерения и действительным значением измеряемой величины называется ошибкой результата измерения.

По характеру и свойствам ошибки подразделяют на:

• грубые;

• систематические;

• случайные.

Грубые ошибки или просчеты легко обнаружить при повторных измерениях или при внимательном отношении к измерениям.

Систематические ошибки – те, которые действуют по определенным законам и сохраняют один и тот же знак. Систематические ошибки можно учесть в результатах измерений, если найти функциональную зависимость и с её помощью исключить ошибку или уменьшить её до малой величины.

Случайные ошибки – результат действия нескольких причин. Величина случайной ошибки зависит от того, кто измеряет, каким методом и в каких условиях.

Случайными эти ошибки называются потому, что каждый из факторов действует случайно. Их нельзя устранить, но уменьшить влияние можно увеличением числа измерений. 

10.3. Свойства случайных ошибок измерений

Теория ошибок изучает только случайные ошибки. Под случайной ошибкой здесь и далее будем понимать разность

Δi =  Х – ℓi

где Δi – истинная случайная ошибка; Х – истинная величина; ℓi – измеренная величина.

Случайные ошибки имеют следующие свойства:

1. Чем меньше по абсолютной величине случайная ошибка, тем она чаще встречается при измерениях.

2. Одинаковые по абсолютной величине случайные ошибки одинаково часто встречаются при измерениях.

3. При данных условиях измерений величина случайной погрешности по абсолютной величине не превосходит некоторого предела. Под данными условиями подразумевается один и тот же прибор, один и тот же наблюдатель, одни и те же параметры внешней среды. Такие измерения называют равноточными.

4. Среднее арифметическое из случайных ошибок стремится к нулю при неограниченном возрастании числа измерений.

Три первых свойства случайных ошибок достаточно очевидны. Четвертое свойство вытекает из второго.

Если Δ1,Δ2,Δ3,...,Δn - случайные ошибки отдельных измерений, где n – число измерений, то четвертое свойство случайных ошибок математически выражается

Предел этого отношения будет равен нулю, потому что в числителе сумма случайных ошибок будет конечной величиной, так как положительные и отрицательные случайные ошибки при сложении будут компенсироваться.

Чтобы запись была компактной, Гаусс предложил сумму записывать символом

 ,

тогда

10.4. Оценка точности результатов измерений

Под точностью измерений понимается степень близости результата измерения к истинному значению измеряемой величины. Точность результата измерений зависит от условий измерений.

Для равноточных результатов измерений мерой точности является средняя квадратическая ошибка m, определяемая по формуле Гаусса:

 .

Средняя квадратическая ошибка обладает устойчивостью при небольшом числе измерений.

Предельная ошибка.

Вследствие третьего свойства случайные ошибки, превышающие по абсолютной величине значение 2m, встречаются редко (5 на 100 измерений). Еще реже погрешности больше 3m(3 из 1000 измерений). Поэтому утроенную погрешность называют предельной ошибкой

Для особо точных измерений в качестве предельной ошибки принимают

Все вышеперечисленные ошибки называют абсолютными. В геодезии в качестве специальных характеристик точности измерений используется относительная ошибка – отношение абсолютной ошибки к среднему значению измеряемой величины, которое выражается в виде простой дроби с единицей в числителе, например

10.5. Средняя квадратическая ошибка функции общего вида

В большинстве случаев геодезические измерения выполняют с целью определения значения других величин, связанных с измеряемой функциональной зависимостью.

Например:

D = К · n ;

h = З – П ;

h = S · tgν.

Для суждения о получаемой при этом точности необходимо определить среднюю квадратическую ошибку функции по средним квадратическим ошибкам исходных величин, которые в свою очередь, могут являться результатами измерений или функциями результатов измерений.

Пусть  u = f(X,Y,Z) есть некоторая функция независимых величин X, Y, Z, измеренных или вычисленных со средними квадратическими ошибками mx, my, mz.

Продифференцируем функцию по всем переменным и получим

.

В этой формуле бесконечно малые приращения – дифференциалы – заменим истинными ошибками. Получим выражение

,

где ΔX, ΔY, ΔZ – истинные ошибки.

Перейдем от истинных ошибок к средним квадратическим ошибкам. Для этого положим, что X, Y, Z измерено n раз, где можно считать  . Соответственно числу измерений составляем n равенств

 

Возведем каждое из равенств в квадрат, сложим и разделим на n

А так как   ;         и т.д.,

то

 где    представляют собой частные производные данной функции, вычисленные для соответствующих значений аргументов.

 

10.6. Математическая обработка результатов равноточных измерений

Среднее арифметическое (арифметическая средина). Если имеется ряд результатов равноточных измерений ℓ1,ℓ2,...,ℓn одной и той же величины Х, то нет оснований отдавать предпочтение какому – либо из этих значений. В этом случае за окончательное значение Х принимают величину, вычисленную как среднее арифметическое из всех результатов:

Случайные ошибки получают как

Сложив левые и правые части этих равенств, получим

 

Отсюда;

,

На основании четвертого свойства при

Следовательно, при большом числе измерений среднее арифметическое равно истинному значению Х. Это и позволяет использовать среднее арифметическое в качестве окончательного результата выполненных измерений. Иначе его называют вероятнейшим значением измеренной величины.

Контроль вычисления среднего арифметического осуществляется по вероятнейшим ошибкам δ.

Сложив уравнения , получим  .

Это свойство вероятнейших ошибок позволяет контролировать правильность вычисления арифметической средины.

Средняя квадратическая ошибка среднего арифметического. Для вычисления средней квадратической ошибки М арифметической средины пользуются формулой

из которой следует, что средняя квадратическая ошибка арифметической средины в раз меньше средней квадратической ошибки отдельного измерения.

Средние квадратические ошибки, выраженные через вероятнейшие ошибки.

Используя уклонения (вероятнейшие ошибки) , вычисляют среднюю квадратическую ошибку уклонения m одного измерения по формуле Басселя

Среднее квадратическое уклонение М арифметической средины в этом случае вычисляют по формуле

10.7. Неравноточные измерения. Понятие о весе измерения. Формула общей арифметической средины или весового среднего

Если измерения выполнялись не в одинаковых условиях, то результаты нельзя считать одинаково надежными. Такие измерения называют неравноточными. Например, один и тот же угол можно измерить точным и техническим теодолитом. Результаты данных измерений будут неравноточными.

Мерой сравнения результатов при неравноточных измерениях, т.е. мерой относительной ценности полученных неравноточных результатов является вес результата измерения.

Вес выражает как бы степень доверия, оказываемого данному результату по сравнению с другими результатами.

Чем надежнее результат, тем больше его вес. Вес определяется как величина обратная квадрату средней квадратической ошибки

Если, например, имеется два неравноточных значения длины линии 220,35 ± 0,1 м, 220,35 ± 0,2 м, то в качестве весов Р1 и Р2  могут быть приняты числа:

Веса можно умножать или делить, но на одно и тоже число. Разделив вычисленные в примере веса на 25, получим р1 = 4 и р2 = 1.

Так как р1 > р2 , то первое измерение более точное.

Допустим имеется ряд равноточных результатов измерений  , для которых рассчитаны средняя квадратическая ошибка m, среднее арифметическое ряда измеренийи средняя квадратическая ошибка М. На основании определения веса, весом p отдельного измерения и весом арифметической средины P будут

Умножив веса на  m 2    , имеют Р = 1,  Р = n , следовательно, вес арифметической средины больше веса отдельного измерения в n раз, n – число измерений, из которых вычислена данная арифметическая средина.

Иначе, весом результата измерения называется число равноточных измерений, из которых получен данный неравноточный результат измерения как среднее арифметическое.

Рассмотрим вывод формулы общей арифметической средины или весового среднего.

Пусть величина имеет ряд равноточных измерений:

Р1 , Р2 .....  Рк ,   - не одинаковое число измерений. Так как измерения равноточные, то для получения вероятнейшего значения, необходимо образовать из всех результатов измерений среднее арифметическое

Разбив теперь рассматриваемый ряд равноточных измерений на к групп, образуем средние арифметические по группам L' , L'' .....  L(к) . Полученные арифметические средние можно рассматривать как новые результаты измерений той же величины, но уже неравноточные. Таким образом, вместо первоначального ряда равноточных измерений для некоторой величины мы получили новый ряд неравноточных измерений L' , L'' .....  L(к) , с весами Р1 , Р2 .....  Рк . По данным неравноточным измерениям арифметическое среднее ℓp определяют по формуле

Полученное значение называется общей арифметической срединой или весовым средним.

Общая арифметическая средина из данных неравноточных измерений равна сумме произведений каждого измерения на его вес, разделенной на сумму весов. Она является вероятнейшим значением измеряемой величины.

Аналогично тому, как при равноточных измерениях, для оценки точности отдельного результата и арифметической средины, при оценке неравноточных измерений определяют среднюю квадратическую ошибку единицы веса

и среднюю квадратическую ошибку весового среднего

где – уклонения отдельных результатов измерений от общей арифметической средины. Для контроля правильности вычислений используется свойство

Для контроля правильности вычислений используется свойство

.

10.8. Вопросы для самоконтроля

 1. Что называется измерением?

2. Что такое грубые, систематические и случайные ошибки?

3. Какие измерения называются равноточными, а какие – неравноточными?

4. Каковы основные свойства случайных ошибок измерений?

5. Как определяют вероятнейшее значение измеренной величины при равноточных и неравноточных измерениях?

 6. Что называется предельной, абсолютной и относительной ошибками?

7. Как определяют среднюю квадратическую ошибку функции общего вида?

8. Что такое вес измерения?

 

Ответы на вопросы для самопроверки пишите в комментариях, мы проверим, или же задавайте свой вопрос по данной теме.