Деформированное состояние в точке. Обобщенный закон Гука кратко

Зако́н Гу́ка — утверждение, согласно которому, деформация, возникающая в упругом теле (пружине, стержне, консоли, балке и т. д.), пропорциональна приложенной к этому телу силе. Открыт в 1660 году английским учёным Робертом Гуком .

Закон Гука выполняется только при малых деформациях. При превышении предела пропорциональности связь между силой и деформацией становится нелинейной. Для многих сред закон Гука неприменим даже при малых деформациях.

Установим зависимость относительной линейной деформации от нормальных напряжений в случае объемного напряженного состояния.

Обобщённый закон Гука

В общем случае напряжения и деформации описываются тензорами второго ранга в трёхмерном пространстве (имеют по 9 компонент). Связывающий их тензор упругих постоянных является тензором четвёртого ранга и содержит 81 коэффициент. Вследствие симметрии тензора , а также тензоров напряжений и деформаций, независимыми являются только 21 постоянная. Закон Гука выглядит следующим образом:

где — тензор напряжений, — тензор деформаций. Для изотропного материала тензор содержит только два независимых коэффициента.

Благодаря симметрии тензоров напряжения и деформации, закон Гука может быть представлен в матричной форме.

Для линейно упругого изотропного тела:

где:

• — модуль Юнга;
• — коэффициент Пуассона;
• — модуль сдвига.

Определим относительную продольную деформацию выделенного элемента (см. рис. 4.1б) в направлении главного напряжения σ₁, отдельно рассматривая влияние каждого из главных напряжений и складывая результаты в соответствии с принципом независимости действия сил:

.

Под действием напряжения σ₁элемент в направлении этого напряжения на основании закона Гука получит относительное удлинение, равное. (Аналогично определятся относительные деформации по направлениям двух других главных напряжений:;).

В то же время по отношению к напряжениям σ₂и σ₃, ребро элемента, параллельное σ₁, является поперечным размером, а потому под действием напряжений σ₂и σ₃элемент в направлении σ₁испытывает относительные укорочения, равные:

,.

Здесь – коэффициент поперечной деформации, называемый коэффициентом Пуассона; ε' – относительная поперечная деформация; ε – относительная продольная деформация.

Таким образом, полная относительная деформация элемента в направлении напряжения σ₁выразится суммой:

.

Подобные же выражения получим и для деформаций в двух других направлениях. В результате имеем:

(4.22)

Касательные напряжения не вызывают удлинений ребер выделенного параллелепипеда, а вызывают лишь изменения прямых углов между его гранями. Закон Гука в общем виде (рис. 4.1а) для объемного напряженного состояния запишется:

(4.23)

В соотношениях (4.23) использована зависимость между тремя упругими постоянными материала – модулем упругости 1-города Е, коэффициентом Пуассонаи модулем упругости 2-го рода (модулем сдвига) G:

.

Формулы (4.23) показывают, что при изменении нормальных и касательных напряжений на всевозможных площадках, проходящих через заданную точку, соответственно изменяются относительные линейные деформации и углы сдвига граней выделенного элемента с бесконечно малыми размерами dx, dy, dz.

Совокупность линейных относительных деформаций и углов сдвига для всевозможных направлений осей, проведенных через заданную точку, называется деформированным состоянием в точке.

Деформации элемента в трех ортогональных плоскостях представим в виде таблицы

аналогичной тензору напряжений и называемой тензором деформаций.

Выражения (4.22) и (4.23), устанавливающие связь между деформациями и напряжениями в общем случае напряженного состояния, носят название обобщенного закона Гука. Они применимы при напряжениях, не превышающих предел пропорциональности материала и при малых деформациях.

+С помощью формул (4.23) обобщенного закона Гука можно определять относительные деформации по любому заданному направлению, если предварительно определить нормальные напряжения вдоль указанного направления и двух других направлений, перпендикулярных заданному.

Относительные деформации ε₁, ε₂, ε₃в направлениях, для которых отсутствуют углы сдвига, определяемые по формулам (4.22), называются главными деформациями.

Для главных направлений тензор деформаций получит вид:

.