Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений кратко

Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений кратко

Положение главных центральных осей и величины главных центральных моментов инерции для симметричных сечений определяются в следующем порядке:

1. Сложное сечение разбивается на простые фигуры (круг, прямоугольник, двутавр, уголок и т.п.) и проводятся их центральные оси Zi и Yi (как правило – горизонтально и вертикально).

2. Определяется по формулам (5.3) положение центра тяжести всего сечения и через эту точку проводятся его центральные оси Z и Y. При наличии двух осей симметрии центр тяжести всего сечения находится в точке их пересечения.

Если сечение обладает только одной осью симметрии, то по формулам (5.3) определяется только одна координата центра тяжести. Поясним это для фигуры, показанной на рис. 5.8:

Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений

а) оси Z' и Y' выбираем так, чтобы ось Y' совпала с осью симметрии фигуры, а ось Z' – чтобы было удобно определить расстояние до этой оси от центральных осей простых фигур;

б) определяем статический момент площади сечения относительно произвольной оси Z' по формуле:

Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений= А1у1+ А2у2,

где Аi– площади сечений простых фигур; уi– расстояния от произвольной осиZ' до центральных осей простых фигурZi. Расстояния уiнеобходимо брать с учетом знаков;

в) определяем координату уCцентра тяжести по формуле (5.3):

Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений=Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений

г) на расстоянии уCот осиZпроводим вторую центральную осьZ. Первой центральной осью является ось симметрии Y.

3. Моменты инерции относительно главных центральных осейZиY(рис. 5.8) определяем по формулам (5.9), которые в развернутом виде запишутся так:

Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений

Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений

Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сеченийтак как одна из рассматриваемых осей

(ось Y) является осью симметрии.

В этих формулах:

Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений– осевые моменты инерции простых фигур относительно своих центральных осей (собственные моменты инерции), которые определяются по формулам (5.10)–(5.19) или по таблицам сортаментов для прокатных элементов;

Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений– расстояния от общих центральных осей сеченияZиYдо центральных осей простых фигур. В рассматриваемом примереГлавные центральные моменты инерции сложных симметричных сеченийГлавные центральные моменты инерции сложных симметричных сеченийиГлавные центральные моменты инерции сложных симметричных сеченийпоказаны на рис. 5.8;

Ai– площади простых фигур. Если простой фигурой является фигура, вырезанная от общей, т.е. "пустая" фигура, то в соответствующие формулы площади таких фигурAГлавные центральные моменты инерции сложных симметричных сеченийи их собственные моменты инерцииГлавные центральные моменты инерции сложных симметричных сеченийподставляются со знаком "минус".

ПРИМЕР 5.1

Требуется определить главные центральные моменты инерции сечения, изображенного на рис. 5.9.

РЕШЕНИЕ:

1. Разбиваем сечение на простые фигуры и проводим их горизонтальные и вертикальные центральные оси ZiиYi

2. Проводим центральные оси для всей фигуры, т.е. оси симметрии ZиY.

3. Определяем расстояния от общих центральных осей ZиYдо центральных осей простых фигур и площади этих фигур:

Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сеченийГлавные центральные моменты инерции сложных симметричных сеченийГлавные центральные моменты инерции сложных симметричных сеченийГлавные центральные моменты инерции сложных симметричных сеченийГлавные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений

Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сеченийГлавные центральные моменты инерции сложных симметричных сеченийГлавные центральные моменты инерции сложных симметричных сеченийГлавные центральные моменты инерции сложных симметричных сеченийГлавные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений

Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сеченийГлавные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений

Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений

Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений

4. Вычисляем собственные центральные моменты фигур по формулам (5.10)–(5.17):

Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений

Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений

Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений

Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений

Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений

5. Определяем осевые моменты инерции всего сечения относительно центральных осей ZиY:

Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений

Центробежный момент инерции Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сеченийтак какZиY– оси симметрии. Поэтому вычисленные намиIZиIY поэтому являются главными центральными осями:

Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений

Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений

ПРИМЕР 5.2

Требуетсяопределить главные центральные моменты инерции сечения показанного на (рис. 5.10).

РЕШЕНИЕ

1. Разбиваем сечение на простые фигуры и проводим их центральные оси Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сеченийиYi.

2. Проводим ось симметрии Y. Она является главной центральной осью заданного сечения.

3. Для определения положения 2-й главной центральной оси выбираем произвольную ось Z, перпендикулярную оси симметрии. Пусть эта ось совпадает с осьюZ3.

4. По формуле (5.3) определяем ординату усцентра тяжести поперечного сечения по оси Y:

Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений

Откладываем размер уCвверх от осиZ' и проводим 2-ю главную центральную осьZ.

Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений

5. Определяем осевые моменты инерции простых фигур относительно собственных центральных осей (см. формулы (5.10)–(5.17)):

Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений

6. Вычисляем расстояния от центральных осей всего сечения ZиYдо центральных осей отдельных фигур (рис. 5.10):

Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений

так как оси Y1,Y2,Y3совпадают с осью симметрииY.

Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений

7. Вычисляем осевые моменты инерции всего сечения относительно центральных осей ZиYпо формулам (5.9):

Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений

Центробежный момент инерции IZYвсего сечения равен нулю, так как ось Y является осью симметрии, т.е. осиZиYявляются главными центральными осями инерции сечения, а вычисленные осевые моменты инерции являются главными центральными моментами инерции:

Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений

ПРИМЕР 5.3

Требуетсяопределить главные центральные моменты инерции составного сечения, показанного на (рис. 5.11).

РЕШЕНИЕ

Порядок решения подробно рассмотрен в примере 5.2.

1. Разбиваем сечение на отдельные фигуры, геометрические характеристики которых приводятся в таблице сортаментов (двутавр и швеллер) или легко вычисляются по формулам (5.10)–(5.20) (в данном примере прямоугольник) и проводим их центральные оси.

Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений

2. Проводим ось симметрии Y. Центр тяжести всего сечения лежит на этой оси.

3. Выбираем произвольную ось Z. Пусть в данном примере эта ось совпадает с осьюZ3.

4. Расстояние уCопределяем от произвольной осиZдо центра тяжести всего сечения:

Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений

Расстояния от произвольно выбранной оси Z' до центральных осей каждой фигуры (у1, у2, у3) показаны на рис. 5.11.

Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений

Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений

Площади сечений швеллера А1и двутавра А2выписываем из соответствующих таблиц сортамента, а площадь прямоугольника А3вычисляем:

А1= 23,4 см2, А2= 46,5 см2, А3= 24Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений2 = 48 см2.

Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений

Отложим величину уCвверх от осиZ' (так как уC > 0) и на этом расстоянии проведем главную центральную осьZ.

5. Геометрические характеристики прокатных профилей выписываем из таблицы сортаментов, учитывая различие в ориентации осей в таблице сортаментов и на рис. 5.12а, в.

Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений

1. Швеллер № 20 Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений

ГОСТ 8240-89 Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений

(рис. 5.12а) Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений; Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений

Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений

Двутавр № 30 Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений

ГОСТ 8239-89 Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений

(рис. 5.12б) Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сеченийh= 30 см.

Буква "с" в индексе осевых моментов инерции I означает ссылку на обозначение осей в сортаменте.

Моменты инерции прямоугольника (рис. 5.12в) вычисляем отдельно по формулам (5.10) и (5.11):

Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений

6. Определяем расстояния от общих центральных осей Y и Z до центральных осей отдельных фигур (они показаны на рис. 5.11):

Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений

так как оси Y1,Y2,Y3 совпадают с осью симметрии всего сеченияY.

Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений

Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений

Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений

7. Определяем осевые моменты инерции сложной фигуры относительно центральных осей ZиYпо формулам (5.9):

Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений

Центробежный момент инерции Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сеченийтак как ось Y является осью симметрии. Поэтому оси Z и Y являются главными центральными осями.

Главные центральные моменты инерции сложных симметричных сечений

avatar

Что бы оставить комментарий войдите


Комментарии (0)






Сопротивление материалов